| Abstract
| - In this paper, we consider a Borel measurable function on the space of $\scriptstyle m\times n$ matrices $\scriptstyle f: M^{m\times n}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}$ taking the value $ \scriptstyle +\infty$, such that its rank-one-convex envelope $\scriptstyle Rf$ is finite and satisfies for some fixed $\scriptstyle p>1$: $$\scriptstyle -c_0\leq Rf(F)\leq c(1+\Vert F\Vert^p)\ \hbox{for all}\ F\in M^{m\times n},$$ where $\scriptstyle c,c_0>0$. Let $\scriptstyle\O$ be a given regular bounded open domain of $\scriptstyle \mathbb{R}^n$. We define on $\scriptstyle W^{1,p}(\O;\mathbb{R}^m)$ the functional $$\scriptstyle I(u)=\int_{\O}f(bla u(x))\ dx.$$ Then, under some technical restrictions on $\scriptstyle f$, we show that the relaxed functional $\scriptstyle\bar I$ for the weak topology of $\scriptstyle W^{1,p}(\O;\mathbb{R}^m)$ has the integral representation: $$\scriptstyle \bar I(u)=\int_{\O}Q[Rf](bla u(x))\ dx,$$ where for a given function $\scriptstyle g$, $\scriptstyle Qg$ denotes its quasiconvex envelope.
- On considère une fonction Borel mesurable $f:M^{m\times n}\rightarrow overline{\mathbb{R}}$ qui prend la valeur $+\infty$, dont l'enveloppe rang-1-convexe Rf est finie et satisfait pour un certain p>1, $-c_0 \leq Rf(F)$$\leq c(1+\Vert F\Vert^p), \forall F\in M^{m\times n},$ avec $c,c_0>0$ fixés. Étant donné un ouvert borné Ω de $\mathbb{R}^n$, on introduit la fonctionnelle $I(u):=\int_{\Omega}f(bla u(x))\ dx,$ pour $u\in W^{1,p}(\Omega;\mathbb{R}^m)$. On montre alors sous quelques hypothèses supplémentaires concernant f, que la relaxée $\bar I$ de I pour la topolgie faible de $W^{1,p}(\Omega;\mathbb{R}^m)$ admet la représentation suivante : $\bar I(u)=\int_{\Omega}Q{ Rf}(bla u(x))\ dx,$ où pour une fonction donnée g, Qg désigne son enveloppe quasi-convexe.
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