| Abstract
| - In the case of an elastic strip we exhibit two properties of dispersion curves λ n,n ≥ 1 , that were not pointed out previously. We show cases where λ' n(0) = λ'' n(0) = λ''' n(0) = 0 and we point out that these curves are not automatically monotoneous on ${\mathbb{R}}_{+}$. The non monotonicity was an open question (see [2], for example) and, for the first time, we give a rigourous answer. Recall the characteristic property of the dispersion curves: { λ n(p);n ≥ 1 } is the set of eigenvalues of Ap, counted with their multiplicity. The operators A p, $p\in{\mathbb{R}}$, are the reduced operators deduced from the elastic operator A using a partial Fourier transform. The second goal of this article is the introduction of a dispersion relation D(p,λ) = 0 in a general framework, and not only for a homogeneous situation (in this last case the relation is explicit). Recall that a dispersion relation is an implicit equation the solutions of which are eigenvalues of Ap. The main property of the function D that we build is the following one: the multiplicity of an eigenvalue λ of Ap is equal to the multiplicity it has as a root of D(p,λ) = 0. We give also some applications.
- Dans cet article nous exhibons deux propriétés des courbes de dispersion λ n, n ≥ 1 associées à une bande élastique, qui n'ont pas été mises en évidence jusqu'à maintenant : nous montrons des situations où λ' n(0) = λ'' n(0) = λ''' n(0) = 0 et, de plus, nous montrons que ces courbes ne sont pas systématiquement monotones sur ${\mathbb{R}}_{+}$. La non monotonie était un problème ouvert (il a été posé dans un contexte différent dans [2] auquel nous répondons pour la première fois. Rappelons que les courbes de dispersion sont telles que, pour tout $p\in{\mathbb{R}}$, { λ n(p);n ≥ 1 } est l'ensemble des valeurs propres de A p comptées avec leur ordre de multiplicité. Les opérateurs A p$p\in{\mathbb{R}}$, sont les opérateurs réduits obtenus en utilisant la transformation de Fourier partielle. Un deuxième objectif pour cet article est d'introduire une relation de dispersion dans un cadre général, et pas seulement dans le cas homogène où elle est calculée explicitement. Rappelons qu'une relation de dispersion est une équation implicite donnant la condition pour que λ soit une valeurs propresde Ap. Nous montrons la principale propriété de la fonction D que nous construisons : la multiplicité d'une valeurs propres λ de Ap est égale à sa multiplicité comme racine de D(p,λ) = 0 et nous présentons quelques applications.
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