| Abstract
| - Consider the domain $Z_epsilon=\{x\in\mathbb{R}^n ; {dist}(x,epsilon\mathbb{Z}^n)> epsilon^\gamma\}$ and let the free path length be defined as $\tau_epsilon(x,v)=\inf\{t> 0 ; x-tv\in Z_epsilon\}.$ In the Boltzmann-Grad scaling corresponding to $\gamma=\frac{n}{n-1}$, it is shown that the limiting distribution $\phi_epsilon$ of $\tau_epsilon$ is bounded from below by an expression of the form C/t, for some C> 0. A numerical study seems to indicate that asymptotically for large t, $\phi_epsilon\sim C/t$. This is an extension of a previous work [J. Bourgain et al., Comm. Math. Phys.190 (1998) 491-508]. As a consequence, it is proved that the linear Boltzmann type transport equation is inappropriate to describe the Boltzmann-Grad limit of the periodic Lorentz gas, at variance with the usual case of a Poisson distribution of scatterers treated in [G. Gallavotti (1972)].
- Considérons le domaine et définissons le temps de sortie par la formule $\tau_epsilon(x,v)=\inf\{t> 0 ; x-tv\in Z_epsilon\}.$ Sous l'hypothèse de la loi d'échelle de Boltzmann-Grad, qui correspond au cas où $\gamma=\frac{n}{n-1}$, on montre que la fonction de répartition $\phi_epsilon$ des valeurs de $\tau_epsilon$ est minorée asymptotiquement lorsque ε → 0 par une expression de la forme C/t, avec C> 0. Des simulations numériques semblent indiquer que, pour ε → 0 et t → +∞, $\phi_epsilon\sim C/t$. Ce travail généralise ce qui a été montré précédemment [J. Bourgain et al., Comm. Math. Phys.190 (1998) 491-508]. On en déduit l'impossibilité de décrire la limite de Boltzmann-Grad d'un gaz de Lorentz par une équation de Boltzmann linéaire dans le cas d'une configuration périodique des obstacles, contrairement au cas d'une distribution poissonienne d'obstacles traité dans [G. Gallavotti (1972)].
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